문제 

https://www.acmicpc.net/problem/1219


알고리즘 

벨만포드


풀이 

벨만포드는 은근히 생각해야할 것이 있는 주제라고 생각됩니다. 최대로 벌 수 있는 돈을 구하는 문제입니다.

시작지점과 도착지점이 하나씩 있는 문제는 다익스트라 또는 벨만포드를 전략으로 고려할 수 있습니다. 음의 사이클이 존재할 때, 다익스트라를 사용하지 못하므로 벨만포드를 사용하도록 합시다.

벨만포드의 기본적인 아이디어는 루프를 N번 돌며 마지막반복에서 업데이트가 일어난다면 음의 사이클이 존재한다고 판단하는 것입니다. 물론 N번미만 루프안에서 업데이트가 더이상 일어나지 않는다면 종료함으로써 불필요한 루프를 도는 것을 그만할 수 도 있습니다.

유의해야할 것 중 첫번째는 dist 배열의 타입입니다. 돈과 교통비의 최댓값이 100만, N의 최댓값이 100 이여서 오버플로우가 안난다고 착각할 수 있다는 것입니다. 벨만포드는 현재까지 k번 루프를 돌았다면, 시작지점으로부터 k개의 간선을 거쳐 갈 수 있는 지점의 업데이트를 “보장"해준다는 것입니다. 운이 좋다면 도시의 배치순서에 따라 첫번째 루프에서도 도시끝까지 업데이트가 일어날 수 있습니다. 즉 오버플로우를 고려하기 위해 최댓값을 계산할 때는 N2∗val로 계산해야합니다. 이는 int를 초과하는 범위이므로 long long 타입을 사용해야합니다.

두번째는 사이클의 판별이 아니라 도달성입니다. 벨만포드의 기초문제들은 사이클의 유무를 판단하지만 이 문제에서는 만들어진 사이클에서 목적지까지 도달해야하는 것 또한 판별해야함을 잊지 맙시다. 이를 처리하기 위해 저는 makeCy 큐를 통해 bfs를 수행했습니다.

벨만포드는 루프를 최대 N번돌며 그때마다 모든 간선을 검사하므로 시간복잡도는 O(NM)입니다.

코드 

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define REP(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define FAST cin.tie(NULL);cout.tie(NULL); ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;

const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, s, t, m,a,b,c;
ll dist[100];
int earn[100];
bool visited[100];
vector<vector<pii>> adj;

int main() {
    FAST;
    cin >> n >> s >> t >> m;

    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));

    adj.resize(n);

    while (m--) {
        cin >> a >> b >> c;
        adj[a].emplace_back(b, c);
    }
    rep(i, n) cin >> earn[i];

    dist[s] = -earn[s];

    queue<int> make_cy;
    bool update;
    rep(i, n) {
        update = false;

        rep(here, n) {
            if (dist[here] == INF) continue;
            for (auto [there, cost] : adj[here]) {
                cost -= earn[there];
                if (dist[here] + cost < dist[there]) {
                    update = true;
                    dist[there] = dist[here] + cost;
                    if (i == n - 1) make_cy.emplace(here);
                }
            }
        }
        if (!update) break;
    }
    bool reach = false;
    while (!make_cy.empty()) {
        auto here = make_cy.front();
        make_cy.pop();
        if (here == t) {
            reach = true;
            break;
        }
        for (auto [there, cost] : adj[here]) {
            if (!visited[there]) {
                visited[there] = true;
                make_cy.emplace(there);
            }
        }
    }

    if (dist[t] == INF) cout << "gg";
    else if (update && reach) cout << "Gee";
    else cout << -dist[t];

    return 0;
}